梁佩诗一起来破译外星人的符号系统(续)-诗曼浙江

梁佩诗一起来破译外星人的符号系统(续)-诗曼浙江

梁佩诗昨天的故事其实没有发完,相信你也看出来了。
我尝试着用讲故事的方法去说明一个严谨的数学概念。尝试了一天终于发现我还没有用故事驾驭数学概念的能力。
所以我可能要放弃兔子和乌龟了,一个可爱的数学爱好者和一个智慧的数学家。虽然在我的构想中他们已经有了各自的结局。
或许有一天等我觉得有足够的能力了,我会重新续写他们俩的故事。
我把昨天没法上来的内容发在这里,希望你能喜欢这个故事暂时的结局。系统外的判定过程
兔子随手画着定理的推导规则,突然灵感像闪电一样击中了他:“我知道了,是加法!”
“在公理模式中,第一个I的数量要等于后两个I的数量相加;而推导规则从满足加法标准的公理出发,只能产生满足加法标准的定理。推导规则把加法标准变成了定理的一个遗传特性!”兔子说。

“其实还可以这么想,”兔子的灵感源源不断,“这些符号串就是加法的算式!“IIIIII○II△IIII”就是“6=2+4”。”
“你从外星人符号系统的定理和加法中看到了同构。”乌龟对兔子的发现表示肯定。形式系统的同构
看到兔子对同构这个词表示不解,乌龟解释道:“两个复杂结构间的每个部分可以建立一一对应的关系,也就是映射,且这些部分在各自的结构中起到相似的作用。我拿现在这个系统的定理和加法举个例子吧。”
乌龟在地上写下:
○ ? =
△ ? +
I? 1
II ? 2
III ? 3
等等
“这些就是两个结构间符号和符号一一对应的关系。这种元素间“较低层次”的对应关系有一个名称:解释。”乌龟继续说,“如果这是一种有意义的解释,我们会发现两个系统的真陈述与定理之间也存在着对应的关系。”
“比如,外星人符号系统的定理IIIIII○II△IIII对应着加法的真陈述:“6=2+4”。事实上,如果你要建立如下的映射关系,”乌龟又写了另一套映射关系:
○ ? 你
△ ? 我
I ? 他
“你会发现定理的解释看起来并不比随便乱写的符号串的更好一点。你可以选择这样解释,只不过这样的解释是无意义的。”乌龟说。
“当语言学家要破译密码或者解读古代文字时,他们会尝试各种各样的解释,直到有一种解释可以在更高的层次上和我们的语言产生对应,他们就找到了有意义的解释。”乌龟说。
“比如解释英文中的“is”,人们可以把它翻译成“有”,“能”等等字,直到把它翻译成“是”的时候,英语的句子才能和汉语的句子对上号。”乌龟说。
兔子觉得脑袋中隐约能感受到同构的意思,但仔细思考下又觉得这个概念很模糊。
他有些迷惑:“如果这个系统的定理和加法同构的话,IIIIII○II△II △ II就应该是一条定理。但它并不是一条定理,它不是良构符号串啊。”形式系统的论域
“是的,看来我建立的这个形式系统不够完善。”乌龟说。
“啊,这是你弄的啊,白费我这么多时间研究它了。”兔子向乌龟抱怨道。
乌龟第一次认真地看向兔子:“你愿意听听我为什么要建这么一个形式系统吗?”
“好的。”兔子点点头,他倒要看看乌龟的葫芦里到底卖的什么药。
“其实数学家甚至是所有人的工作,都是在尝试用某个形式系统中的所有定理反映某个领域,也就是系统的论域,中的所有真理。如果这个尝试成功了,我们就可以说这个形式系统和它的论域完全同构了。”
“能解释一下论域吗?”兔子问。
“打个比方吧,当我们讨论iPhone和小米的时候,我们的论域就是所有手机品牌。”乌龟说。

“我们用来表示加法的阿拉伯数字和+号,其实只是形式系统中的符号而已;我们使用的语言,也可以说是人们用以与世界同构的形式系统。”乌龟说。
“我们会发现,在我们百分之一百了解形式系统的论域之前,无法确定我们构造的形式系统中的每一条定理的解释是否都是真理。”乌龟说。
看兔子听的云里雾里的,乌龟又举了一个例子:

“比如“量子”这个词,几百年前的人们是无法理解它的意思的,即使他们能分别看懂这两个字。但无论“量子”、“Quantum”这些词能否被人解读,它们表示的事物是一直存在于世界上的。”形式系统的多重解释
“你们兔子一族里面表现团结的力量时不是经常会用“1+1>2”吗。从最初这个形式系统的论域来看,这种解释肯定是不太合适的。”乌龟说。
“但一个形式系统只能有一种解释吗?”乌龟反问道。
乌龟又问:“我这个外星人符号系统其实还有一种有意义的解释,你发现了吗?”

“是的,我也发现了另一种解释。”兔子说,“而且我发现,不仅一个形式系统可以有多种有意义的解释,一个领域也可以由多个形式系统解释。比如数学家和哲学家分别用独特的形式系统尝试着与世界同构。”
“你说的不错。看你也累了,让我们总结一下今天的收获吧。”乌龟说。
“我们从这个外星人符号系统说到了它和加法的同构,又通过两个层次区别了形式系统有意义的解释和无意义的解释,然后讨论了形式系统的论域,最后,我们聊到了形式系统的多重解释。”
“大概就是这样了,”兔子确实有些累了,“至于这个外星人符号系统的另一种有意义的解释,就留给那些在看我们故事的人当做一个谜题好了。”